Introduccion de Geometria Analitica

Geometri Analitica

Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertos objetos geométricos mediante técnicas básicas del análisis matemático y del álgebra en un determinado sistema de coordenadas. Se podría decir que es el desarrollo histórico que comienza con la geometría cartesiana y concluye con la aparición de la geometría diferencial con Gauss y más tarde con el desarrollo de la geometría algebraica.

Los dos problemas fundamentales de la geometría analítica son:

1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.
2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que la cumplen.

Lo novedoso de la Geometría Analítica es que permite representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo f(x,y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de expresión matemática. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de grado 1 (v.g.: 2x + 6y = 0) y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de grado 2 (v.g.: la circunferencia x2 + y2 = 4, la hipérbola xy = 1 ).

Algebra

El álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades (en el caso del álgebra elemental). Junto a la geometría, el análisis matemático, la combinatoria y la teoría de números, el álgebra es una de las principales ramas de la matemática.

Aportacion de Descartes

En el área de las Matemáticas, la contribución más notable que hizo Descartes fue la sistematización de la Geometría Analítica. Fue el primer matemático que intentó clasificar las curvas conforme al tipo de ecuaciones que las producen. Fue también el responsable de la utilización de las últimas letras del abecedario para designar cantidades desconocidas y las primeras para las conocidas.

La relacion entre Geometria Analitica y Algebra surge el CONCEPTO

Las Profesiones en las que se Aplican el calculo Diferencial son:
ingenieros, fisicos, matematicos, quimicos, economistas, biologos, agronomos y otras profesiones.

La Derivada y Formulas

La Derivada

En geometría, la derivada de una función en un punto representa el valor de la pendiente de la recta tangente en dicho punto. La pendiente está dada por la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva (función) con el eje de las abscisas, en ese punto.
. n-1
f(x)=anx


La derivada del Producto

Formula: f(x)=ab+ba
Ejemplo:(4x-7)(5x²+2)
. a b
f(x)=(4x-7)(10x)+(5x²+2)(4)
Se pasa el producto a normal por la derivada de b mas el producto b normal por la derivada de a
Se multiplican los valores f(x)=40x²-70x+20²+8
Se acomodan términos semejantes f(x)=60²-70x+8

Derivada del cociente

La derivada del cociente se aplica a la función de división
Formula: f(x)bai-bia/b²
Ejemplo:x-3/x²-5
Se acomodan según la formula: f(x)=(x²-5)(1)-(2x)(x-3)/(x²-5)²
Se multiplican términos: x²-5-2x²+6x/(x²-5)²

Se acomodan términos semejantes: -x²+6x-5/(x²-5)²

La Regla de la Cadena

La regla de la cadena se emplea para derivar funciones con exponentes.
Formula: f'(x)=n(u)´n-1(u,i)
Ejemplo: f'(x)=5x+4)³
El exponente pasa a ser primer termino, se reduce un grado al exponente y se deriva la formula: 3(5x+4)²(5)
Después se multiplican términos independientes:
f'(x)=(5)3(5x+4)² f'(x)=15(5x+4)²

La Parabola y sus Formulas

La Parábola

Es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano cartesiano, cuya distancia a un punto llamado foco es igual a la distancia a una recta fija llamada directriz.

Formula de la Parábola

La ecuación de una parábola con vértice en (h,k) y foco en (h,k+a) es
(x-h)²= 4a(y-k)

Parábola Horizontal (y-k)² = 4a(x-h)
Foco (h+p,k)
Directriz x=h-a
Eje focal y=k
Si a>0 la parábola se abre hacia la derecha
Si a<0 la parábola se abre hacia la izquierda

Parábola paralela al eje Y
Ecuación (x-h)² = 4a(y-k)
Foco (h, k+p)
Directriz y=k-p
Eje focal x=h
Si a>0 la parábola se abre hacia arriba
Si a<0 la parábola se abre hacia abajo

La Circunferencia y sus Formulas

Circunferencia
Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano equidistan tes de otro fijo, llamado centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.

Formulas

Formula de la circunferencia con centro en el origen.
r²=x²+y²

Formula con origen en otro punto y con valor de radio.
(x-a)²+(y-b)²=r²

Formula para encontrar la ecuación de la circunferencia sin radio se utiliza la formula de distancia se despeja radio y se prosigue con la formula normal.
(x - xo)² + (y - yo)² = d²

Ecuación de la circunferencia con los extremos de sus diámetros primero se sacan los puntos medios para encontrar el punto de origen.

xo+x yo+y
----= PMY -----= PMX
2 2


Formula para hallar la ecuación cuando te dan un punto que es tangente a una ecuación con esta formula se sacara el radio i se procederá normalmente.

Ax+By+C
-------
A²+B²

Las Secciones Conicas

Las secciones cónicas
Las figuras geométricas son aquellas que se pueden obtener cuando se interseca un cono circular recto de dos mantos con un plano, por este motivo se les llaman secciones cónicas o simplemente cónicas.
Si un plano corta todo un manto del cono y no es perpendicular al eje dicho cono, entonces la curva formada por la intersección se llama elipse.
Si un plano corta a uno de los mantos de un cono pero no lo cruza, y además no tiene contacto con el otro, entonces la curva formada por la intersección se llama parábola.
Si un plano corta a los dos mantos de un cono,la curva formada por la intersección se nombra hipérbola.